3° Semestre - Progresiones de Aprendizaje - Pensamiento Matemático
Temática general
El pensamiento variacional es un componente indispensable para las ciencias y la tecnología, sin la herramienta teórica suministrada por el cálculo para representar y modelar situaciones y fenómenos el nivel de comprensión que tiene la humanidad sobre la realidad sería deficiente.
No solamente es la realidad física la que puede explicarse a través del pensamiento variacional, también la comprensión de algunos sistemas biológicos, fenómenos epidemiológicos y sociales pueden ser explicados con la ayuda del pensamiento variacional.
Para comprender nuestra realidad es necesario tener conciencia sobre lo que varía. El cambio es una parte constitutiva de la vida, es por ello por lo que el estudio de la variación desde el pensamiento matemático se vuelve fundamental en la formación humana de nuestras y nuestros jóvenes.
Aplicación disciplinar
Para favorecer en el estudiantado el desarrollo de habilidades relacionadas con el pensamiento variacional se han elegido algunos elementos disciplinares del cálculo que a continuación enumeraremos.
No divorciamos a la matemática de su componente humanista, partimos de revisar algunos de los estudios más relevantes sobre cambio y movimiento que han tenido lugar, desde la antigüedad, en el pensamiento de algunos filósofos y como éstos fueron evolucionando hasta llegar a la concepción matematizada de la realidad de Galileo y la invención del cálculo por Leibniz y Newton. Se estudia también cómo algunas de estas ideas estuvieron presentes en la humanidad mucho antes de cristalizarse y formalizarse.
La perspectiva que adoptamos es la de un punto medio entre la intuición original de los infinitesimales y el desarrollo formal de la disciplina: asumimos algunas leyes sobre límites de funciones reales de variable real y sobre ellas construimos nuevos conocimientos. Es notable el tiempo que le costó a la humanidad lograr formalizar satisfactoriamente estas ideas, es por ello que nos colocamos en un punto intermedio entre la intuición y la formalidad.
Se revisa el concepto de continuidad y diferenciabilidad y la relación entre ellos (toda función derivable es continua, pero no toda función continua es derivable), se busca que el estudiantado genere intuiciones acerca de las implicaciones de la continuidad y diferenciabilidad.
Se utilizan algunas propiedades de la derivada para estudiar gráficas de funciones y determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de funciones, la concavidad o convexidad de gráficas, su puntos máximos o mínimos relativos, etc.
Analizamos problemas de optimización empleando técnicas del cálculo diferencial y abordamos la modelación de fenómenos a través del uso de funciones reales de variable real. Se espera que el estudiantado, al finalizar esta unidad curricular de aprendizaje, sea capaz de proponer un modelo sencillo para explicar algún fenómeno, aunque no se espera que la ecuación diferencial que lo describe pueda ser resuelta, pues no se tratan en este semestre las técnicas necesarias para hacerlo sino que se posponen para un curso más avanzado.
Se concluye el curso con una revisión somera del teorema fundamental del cálculo y la relación que tiene éste con el estudio emprendido en la primera unidad curricular cuando se revisaban áreas debajo de una curva.
Progresiones de Aprendizaje
Código | Progresión de Aprendizaje |
|---|---|
PA3.1. | Genera intuición sobre conceptos como variación promedio, variación instantánea, procesos infinitos y movimiento a través de la revisión de las contribuciones que desde la filosofía y la matemática hicieron algunas y algunos personajes históricos en la construcción de ideas centrales para el origen del cálculo. (según Categoría 2, Meta 2.1.) Anotaciones didácticas: las ideas centrales del cálculo estuvieron latentes en la humanidad desde la antigüedad, se sugiere presentar alguno de estos desarrollos con el lenguaje actual, pero sin pretender formalizar los conceptos en esta primera introducción. Es posible revisar el ejemplo de Arquímedes sobre la aproximación del área de una circunferencia utilizando polígonos regulares inscritos (en este caso se estaría haciendo uso de funciones trigonométricas para lo cual se apela a los aprendizajes de trayectoria que el estudiantado posee, dicho tema se revisará posteriormente). Otra posibilidad es estudiar algunas de las paradojas de Zenón desde el punto de vista matemático y aprovechar para trabajar transversalmente con Humanidades. |
PA3.2. | Analiza de manera intuitiva algunos de los problemas que dieron origen al cálculo diferencial, en particular el problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto dado. (según Categoría 4, Meta 4.1.; y Categoría 3, Meta 3.1.) Anotaciones didácticas: en este punto de la progresión no se pretende resolver dichos problemas, pues será necesario hacer una revisión más profunda del concepto de derivada, cosa que se hará posteriormente. Se busca que el estudiantado tenga un acercamiento intuitivo y heurístico a los problemas que dieron origen al cálculo. De ser necesario, se puede aprovechar este momento para hacer una revisión de aprendizajes de trayectoria relativos a la geometría sintética y de los elementos básicos de geometría analítica tratados en la segunda unidad de aprendizaje de pensamiento matemático. |
PA3.3. | Revisa situaciones y fenómenos donde el cambio es parte central en su estudio, con la finalidad de modelarlos aplicando algunos conocimientos básicos de funciones reales de variable real y las operaciones básicas entre ellas. (según Categoría 3, Meta 3.2.) Anotaciones didácticas: se sugiere buscar situaciones y fenómenos interesantes para el estudiantado, las actividades deportivas pueden ser un buen ejemplo. Es posible revisar el estudio que hace Galileo sobre los cuerpos en caída libre, es recomendable hacer uso de software libre como Tracker y GeoGebra para introducir el estudio de funciones reales de variable real en la modelación. Una recomendación importante es que se busque contextualizar en la modelación a las operaciones básicas de funciones (suma, resta, multiplicación, composición, etc.) |
PA3.4. | Analiza la gráfica de funciones de variable real buscando simetrías, y revisa conceptos como continuidad, crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidades, entre otros, resaltando la importancia de éstos en la modelación y el estudio matemático. (según Categoría 2, Meta 2.1.) Anotaciones didácticas: posteriormente en esta unidad de aprendizaje, cuando se cuente con la herramienta suficiente del cálculo, podrán revisarse técnicas y procedimientos para describirlos a través de la derivada. En este punto se espera únicamente un tratamiento intuitivo y conceptual. |
PA3.5. | Conceptualiza el límite de una función de variable real como una herramienta matemática que permite comprender el comportamiento local de la gráfica de una función. (según Categoría 4, Meta 4.1.; y Categoría 1, Meta 1.1.) Anotaciones didácticas: no se pretende que el estudiantado trabaje de manera rigurosa y formal el concepto de límite (definición épsilon-delta), sino más bien que, asumiendo algunas “leyes de los límites” pueda utilizar dicho concepto. Si el grupo lo permite, es posible hacer una revisión breve de límites infinitos. |
PA3.6. | Identifica y contextualiza la continuidad de funciones utilizadas en la modelación de situaciones y fenómenos y hace un estudio, utilizando el concepto de límite, de las implicaciones de la continuidad de una función tanto dentro del desarrollo matemático mismo, como de sus aplicaciones en la modelación. (según Categoría 4, Meta 4.2.) Anotaciones didácticas: se da seguimiento al trabajo hecho en el punto 4. donde se revisa el concepto de continuidad de una función, pero en este momento se formaliza a través de la herramienta estudiada en 5. Es posible, si las condiciones del grupo lo permiten, revisar en este punto de manera intuitiva el teorema fundamental del valor intermedio y concluir que toda función polinomial de grado impar tiene, por fuerza, al menos una raíz real. |
PA3.7. | Interpreta, a partir de integrar diferentes perspectivas y métodos, el concepto central del cálculo diferencial, “la derivada”, de forma intuitiva e intenta dar una definición formal, así como la búsqueda heurística para encontrar la derivada de la función constante, lineal y algunas funciones polinomiales. (según Categoría 1, Meta 1.2.; y Categoría 2, Meta 2.1.) Anotaciones didácticas: Entre las nociones de derivada que buscan integrarse están: la derivada como la pendiente de la recta tangente de una curva en un punto; la derivada como razón de cambio, en particular la derivada como velocidad instantánea. |
PA3.8. | Encuentra de manera heurística algunas reglas de derivación como la regla de la suma, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena y las aplica en algunos ejemplos. (según Categoría 1, Meta 1.3.; y Categoría 2, Meta 2.3.) Anotaciones didácticas: Es importante procurar no volver este curso un curso únicamente procedural, por ello se sugiere concentrarse en la búsqueda heurística de dichas reglas más que en su aplicación mecanicista. Dando continuidad a la progresión 3., es recomendable utilizar este punto de la progresión para seguir revisando operaciones con funciones, incluso utilizando funciones trigonométricas y exponenciales, en el entendido que el estudio formal se llevará a cabo posteriormente (i.e. dar primeros vistazos a funciones especiales). Si el o la docente no encuentra las condiciones para la búsqueda heurística de algunas de las reglas de derivación antes citadas, se sugiere asumirlas para aplicarlas posteriormente en problemas significativos para el estudiantado que tengan que ver con modelación. |
PA3.9. | Selecciona una problemática en la que el cambio sea un factor fundamental en su estudio para aplicar el concepto de la derivada como razón de cambio instantánea. (según Categoría 3, Meta 3.2.) Anotaciones didácticas: pueden, por ejemplo, revisarse la ley de enfriamiento de Newton (no se busca que se resuelva una ecuación diferencial, pero se puede hablar brevemente sobre su planteamiento), el estudio del llenado y/o vaciado de recipientes, entre otros. |
PA3.10. | Explica y socializa el papel de la derivada para analizar una función (donde crece/decrece, máximo/mínimos locales, concavidades) y traza su gráfica. (según Categoría 1, Meta 1.3.; y Categoría 2, Meta 1.4.) Anotaciones didácticas: de ser posible es recomendable el uso de software libre como GeoGebra para este punto de la progresión con la finalidad de ver a la derivada de una función como una función y con ello extraer información de la función original a partir de la gráfica de su derivada. |
PA3.11. | Resuelve problemas de su entorno o de otras áreas del conocimiento empleando funciones y aplicando la derivada (e.g. problemas de optimización), organiza su procedimiento y lo somete a debate. (según Categoría 3, Meta 3.3.; y Categoría 4, Meta 4.2) Anotaciones didácticas: se sugiere revisar temas de economía matemática como costos, ingresos, ganancias, costos marginales, entre otros. Si se elige explorar este tema es importante hacer un comentario sobre cómo se están empleando funciones de variable continua para modelar objetos discretos. En este punto de la progresión es posible analizar el problema de encontrar la caja de volumen máximo a partir de una lámina rectangular al que se le hacen unos cortes en las esquinas para luego levantar las paredes de la caja, como recomendación podemos decir que es importante aprovechar la oportunidad para que nuestras y nuestros estudiantes desarrollen habilidades que les permitan modelar fenómenos, en ese sentido no podemos comenzar nosotros como docentes nombrando con “x” a la longitud del doblez de la caja, pues parte del proceso de modelación es llevar a las y los estudiantes a que encuentren cuál debe ser la variable adecuada para modelar el fenómeno. |
PA3.12. | Examina la gráfica de funciones logarítmicas con diferentes bases y las gráficas de las funciones exponenciales para describirlas y realizar afirmaciones sobre el significado de que la función exponencial y logarítmicas de base "a" sean funciones inversas entre sí. (según Categoría 3, Meta 3.2.) |
PA3.13. | Analiza y describe un fenómeno en el que la periodicidad sea un constituyente fundamental a través del estudio de propiedades básicas funciones trigonométricas. (según Categoría 3, Meta 3.2.) |
PA3.14. | Selecciona una problemática, situación o fenómeno tanto real como ficticio para modelarlo utilizando funciones derivables. (según Categoría 3, Meta 3.4.; Categoría 2, Meta 2.4.; y Categoría 4, Meta 4.3.) Anotaciones didácticas: es importante resaltar que en este punto no se pretende que el estudiantado sea capaz de resolver una ecuación diferencial, pero se sugiere trabajar un poco en que el estudiantado sea capaz de plantear alguna ecuación diferencial como aquella que describe el decaimiento radiactivo, el modelo presa-depredador, el crecimiento bacteriano, entre otros. Hacemos un énfasis en que el estudiantado, en este punto, no cuenta con la herramienta suficiente para ser capaz de resolver ecuaciones diferenciales, se pretende únicamente dar un acercamiento. Se sugiere emplear herramientas didácticas como la historieta o el relato para analizar algunos de estos modelos y buscar conexiones con Lengua y Comunicación, Humanidades y otras áreas o recursos del Marco Curricular Común. En este punto es posible dar un acercamiento al estudiantado a la revisión de cómo técnicas del cálculo fueron empleadas en la modelación de la pandemia de COVID-19, no se pretende que se comprendan los detalles, sino compartirlos en un formato de plática para motivar al estudiantado a continuar con estos estudios. También es sumamente importante llevar a nuestras y nuestros estudiantes a observar cómo en diversos fenómenos complejos intervienen una gran cantidad de variables, lo cual hace imposible que podamos predecir con exactitud el comportamiento de dicho fenómeno. Como ejemplo podemos abordar los estudios de Eduard Lorenz, James A. York y Benoît Mandelbrot, sobre el caos y la fractalidad a un nivel divulgativo, retomando ideas vistas en Pensamiento Matemático I sobre la incertidumbre. |
PA3.15. | Considera y revisa algunas ideas subyacentes al teorema fundamental del cálculo. (según Categoría 2, Meta 2.4.) Anotaciones didácticas: la discusión que se propone hacer en el aula en este punto es de carácter intuitivo. Se sugiere relacionar este punto de la progresión con el estudio hecho en la primera unidad curricular de pensamiento matemático en donde se estudiaba la distribución normal y la probabilidad como el área bajo una curva. |