2° Semestre - Progresiones de Aprendizaje - Pensamiento Matemático

Anotaciones didácticas: en la vida cotidiana encontramos expresiones como “¡Oferta: 3x2 en todas las playeras!”, en el lenguaje utilizado en el enunciado de estas ofertas no tiene el mismo sentido que el que le damos en el contexto matemático, obsérvese por ejemplo que no tiene sentido hablar de la conmutatividad, ni de la cerradura de la operación.

Es importante diferenciar el sujeto a quien nos referimos en nuestros enunciados: cuando decimos "María es una chica muy inteligente” y cuando decimos “María tiene 5 letras”, aunque parece que hablamos del mismo sujeto, realmente nos referimos a dos entidades distintas; tener claridad en esto es importante para el desarrollo del pensamiento algebraico.

Anotaciones didácticas: Para dar más sentido a la introducción del lenguaje algebraico —fundamental para lograr un pensamiento algebraico— se sugiere mostrar que el quehacer algebraico consiste muchas veces en la búsqueda de la expresión adecuada al problema: Si un mecánico solicita una llave de 1⁄2 y su ayudante le pasa dos llaves de 1⁄4, a pesar de que 1⁄4 + 1⁄4 = 1⁄2 no podemos decir que el ayudante cumpliera satisfactoriamente la consigna; de igual manera, si le pedimos a un estudiante que nos diga cuánto es la suma de los números tres y dos y él nos responde 3 + 2 o √25, aunque no teníamos en mente dicha respuesta el o la estudiante estaría respondiendo algo cierto: lo que debimos solicitarle fue la expresión simplificada de la suma de los números tres y dos. En resumen, hay que tener cuidado con el lenguaje al solicitar una tarea.

Un problema para trabajar sintaxis algebraica y el uso del sistema decimal es el siguiente: hay un mago que descubre el mes y el día del nacimiento de cualquier persona, lo único que tienes que hacer es decirle el resultado de las siguientes operaciones: el número del mes en el que naciste lo multiplicas por 2, se le suma 22, al resultado lo multiplicas por 5, después se le resta 8 y al resultado se multiplica por 10, al resultado se le suma 14, después se le suma el día en que naciste y por último al resultado se suma 31. (El mago restando a dicha cantidad 1065 puede adivinar el día y el mes en que naciste) ¿Cómo hace el mago para descubrirlo?

Muchos de los elementos procedurales de esta progresión pueden dejarse para estudio en casa.

Anotaciones didácticas: se sugiere emplear problemas como el siguiente, el cual fue tomado del libro “Álgebra recreativa” de Yakov Perelman: “Un caballo y un mulo caminan juntos, el caballo se queja de su carga, el mulo le dice ¿de qué te quejas? Si yo tomara un saco de la tuya mi carga sería el doble de la tuya. En cambio, si te doy uno de mis sacos, tu carga se iguala a la mía, así que no tienes por qué quejarte pues yo llevo más sacos que tú. ¿Cuántos sacos lleva el caballo? ¿Cuántos sacos lleva el mulo?”

Con este tipo de problemas se busca que el estudiantado domine con mayor sofisticación el uso del lenguaje algebraico.

Anotaciones didácticas: Decimos que un entero divide a otro, si existe una expresión del segundo como el primero multiplicado por algún entero. Obsérvese que una teoría de divisibilidad se trivializa si se trabaja con la totalidad de los números reales, pues cualquier número distinto de cero dividiría a cualquier otro.

Se sugiere trabajar con pruebas de divisibilidad, revisar cómo dichas pruebas se utilizan en los algoritmos de detección de errores que emplean los sistemas como el ISBN, la seriación de fármacos, en la lectura de dígitos de tarjetas de crédito, etc.

Es recomendable analizar algunas propiedades interesantes del conjunto de números primos como que dicho conjunto es infinito. Se recomienda discutir con las y los estudiantes algunas de las aplicaciones más recientes de la aritmética, por ejemplo, la criptografía, no con la intención de que se comprenda en su totalidad el tema, sino que sirva al estudiantado para observar el poder de la matemática y que es una ciencia que continúa desarrollándose.

Anotaciones didácticas: En este punto las y los estudiantes cuentan con los aprendizajes de trayectoria obtenidos del trabajo que se hizo con este conjunto numérico en el razonamiento estadístico y probabilístico. Para que este estudio sea significativo.

Es importante ir construyendo las propiedades de los reales sobre conocimientos previos, comenzando con números decimales positivos e ir construyendo sobre ellos hasta llegar a la presentación axiomática de los reales como un campo ordenado completo.

Es recomendable emplear retos para introducir algunas propiedades interesantes de este conjunto numérico.

Anotaciones didácticas: se sugiere discutir con las y los estudiantes sus proyectos de vida, en un ambiente de respeto y cuidado de la componente socioemocional, para que con base en ello se introduzca la necesidad de una planeación financiera.

Anotaciones didácticas: cuando se considera el concepto de área de una superficie partiendo de la idea de cubrirla con cuadrados cuyos lados tengan longitud unitaria es importante cuidar que al cubrir la superficie dichos cuadrados no se traslapen y que no existan zonas de la superficie sin cubrir por los cuadrados. Estas ideas pueden resultar útiles al estudiantado si en el futuro deciden estudiar temas relativos al cálculo integral.

Anotaciones didácticas: se recomienda tener especial cuidado en la estructura de los enunciados, buscar apoyado por algún software libre como GeoGebra que él o la estudiante conjeture de tal manera que identifique las hipótesis de los teoremas y sus conclusiones, preguntarse por la veracidad de los recíprocos, por ejemplo, del teorema de Pitágoras.

Con este estudio es posible presentar un mosaico deductivo, es decir, trabajar localmente en geometría euclidiana. Se pretende guiar al estudiante para que pueda conjeturar y hacer deducciones locales argumentando a favor de teoremas, no a partir de los axiomas de la geometría, sino de hechos que se suponen ciertos y que el estudiante conoce o se pide que sean creídos a condición de que en un momento posterior se prueben a partir de hechos que sí conozca. (Díaz Barriga, Alejandro, s.f.).

Anotaciones didácticas: las y los estudiantes poseen aprendizajes de trayectoria del razonamiento estadístico y probabilístico referentes a sistemas de coordenadas y rectas en el plano cartesiano, es muy recomendable que en este punto de la progresión se refuercen dichos aprendizajes de trayectoria sobre todo los referentes al estudio de rectas en el plano pues serán fundamentales para los estudios posteriores.

Anotaciones didácticas: con este elemento de la progresión se prepara el camino para que la y el estudiante adquieran familiaridad con el concepto de función que será central dentro del pensamiento variacional, se debe tener en cuenta los aprendizajes de trayectoria que se proyecta que los estudiantes adquieran de tal forma que se apuntalen desde este momento, sobre todo considerando los requerimientos del pensamiento variacional con respecto a funciones.

Anotaciones didácticas: se sugiere no dar un especial énfasis a los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales sino procurar una comprensión conceptual de dichos objetos matemáticos, teniendo en cuenta la interpretación geométrica de los mismos y considerando los efectos que las operaciones elementales tienen sobre los objetos geométricos asociados al sistema de ecuaciones lineales.

Es posible motivar el estudio de sistemas de ecuaciones lineales al estudiar problemáticas de las ciencias naturales, experimentales y tecnología como lo es el estudio de las reacciones químicas.

Anotaciones didácticas: con este elemento de la progresión no se pretende que el o la estudiante demuestre el teorema antes citado, pues dicha demostración sale del alcance del curso, aunque es fácil intuir la demostración del teorema en el plano y con esto profundizar el concepto de rectas paralelas y de pendiente de una recta. Se pide aplicar el teorema en la resolución de problemas del siguiente tipo:

“Cindy requiere juntar algo de dinero para un viaje, como ella sabe repostería decide elaborar y vender pastelillos de chocolate y de vainilla con fruta. Para hacer una docena de pastelillos de chocolate necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y para hacer una docena de pastelillos de vainilla con fruta necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Para elaborar pastelillos solamente cuenta con 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla. Su idea es vender a $200 cada docena de pastelillos de chocolate y vender a $300 cada docena de pastelillos de vainilla con frutos. Con esos datos, ¿cuántas docenas de cada tipo de pastelillo debe elaborar para obtener la ganancia máxima?”